Линейная интерполяция

Инструкция для онлайн калькулятора для нахождения линейной интерполяци

1. Укажите «х1» и «у1»
2. Укажите «х2» и «у2»
3. Укажите «х» при котором хотите найти «у»

Ответом будет посчитанный «у», который Вы сможете увидеть напротив вводимого значения «х», на графике или в разделе «Решение».
На графике искомые значения будут показаны красным цветом.
В разделе решение, в зависимости от заданных х1, у1, х2, у2 и х, будет определен метод расчета (интерполяция или экстраполяция).

Формула линейной интерполяции

 y = y1 + ((x – x1)/(x2 - x1) * (y2 - y1))   

где:   

• y - искомое;
• x - показатель для которого определяется значение (искомое);      
• x1 - наименьший показатель;      
• x2 - наибольший показатель;      
• y1 - значение наименьшего показателя;      
• y2 - значение наибольшего показателя.

Что такое интерполяция

Интерполяция - это способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Интерполяция использует значения некоторой функции, заданные в ряде точек, чтобы предсказать значения функции между ними. Перечисленные ниже методы предназначены для создания ряда с более высокой частотой наблюдений на основе ряда с низкой частотой. Например, вычислить ряд с квартальной динамикой на основе ряда годовых данных.

Предположим, что есть система несовпадающих точек x_i(i ϵ 0, 1, …, N) из некоторой области G. Значения функции f известны только в этих точках: y_i = f(x_i), i = 1, …, N.

Процесс интерполяции состоит в поиске такой функции f из заданного класса функций, что F(x_i) = y_i,  i = 1, …, N.

Точки x_i являются узлами интерполяции, а их совокупность - интерполяционной сеткой.

Пары (x_i, y_i) являются точками данных (базовыми точками).

Разность между «соседними» значениями ∆x_i = x_i -x_i - 1  - называют шагом интерполяционной сетки. Шаг может быть переменным или постоянным.

Функцию F(x) - интерполирующей функцией (интерполянтой).

Линейная интерполяция

При линейной интерполяции существующие точки данных М(x_i, y_i) (i = 0, 1, ..., n) соединяются прямыми линиями и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i, x_i+1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i, y_i) и (x_i+1, y_i+1), в виде:

Отсюда:

Геометрическая интерполяция

При геометрической интерполяции значения результирующей динамики пропорциональны значению инкремента и обратно пропорциональны фактору, вычисленному на основе инкремента. Инкремент экспоненциально зависит от логарифма относительного прироста исходной динамики, умноженного на длину периода результирующей динамики.

Рассмотрим принцип геометрического метода на примере вычисления квартальных данных на основе годовых.

• X[t] – исходные данные по годам;
• Inc[t] = exp(log(X[t+1] / X[t]) / 4) – значение инкремента;
• Factor[t] = (1 + Inc[t] + Inc[t]^2 + Inc[t]^3) / 4 – значение фактора;
• X[t,1], X[t,2], X[t,3], X[t,4] – квартальные данные в год t.

Из этого следует:

• X[t,1] = X[t] / Factor[t];
• X[t,2] = X[t] * Inc[t] / Factor[t];
• X[t,3] = (X[t] * Inc[t]^2) / Factor[t];
• X[t,4] = (X[t] * Inc[t]^3) / Factor[t].

Интерполяция для других динамик осуществляется аналогичным образом.

Интерполяция многочленом Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа - это многочлен минимальной степени, который принимает данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел (x₀, y₀), (x₁, y₁), …, (x_n, y_n), где все x_i различны (i = 0, 1, ..., n), существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_i) = y_i.

В самом простом случае (n = 1) - это линейный многочлен и его график - прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил методику вычисления подобных многочленов:

Где базисные полиномы определяются по следующей формуле:

l_j(x) обладают свойствами:

• являются многочленами степени n;
• l_j(x_j)= 1;
• l_j(x_i) = 0 при i ≠ j.

Из этого следует, что L(x), как линейная комбинация l_j(x), может иметь степень не больше n, и L(x_j) = y_j.